Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Dưới đây, ta phát phiển và chứng minh một số tính chất của bất đẳng thức A > B. Các bất đẳng thức dạng khác cũng có các tính chất tương tự. Ta cũng có khái niệm hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc ngược chiều. Chẳng hạn, hai bất đẳng thức A > B và C > D là cùng chiều; Hai bất đẳng thức A > B và C < D là ngược chiều.

Từ định nghĩa ta có ngay:

* Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): Nếu A lớn hơn B và B lớn hơn C thì A lớn hơn C


A > B và B > C => A > C


+ Chứng minh : A > B và B > C => A – B > 0 và B – C > 0. Vì tổng của hai số dương là một số dương nên A – C = (A – B) + (B – C) > 0. Vậy A > C

* Tính chất 2 : Nếu cộng hai vế của một bất đẳng thức với cùng một biểu thức số thì ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương.

A > B <=> A + C > B + C


+ Chứng minh : A > B <=> A – B > 0 <=> (A + C) – (B + C) > 0 <=> A + C > B + C
+ Hệ quả (quy tắc chuyển vế): A + C > B <=> A > B - C

* Tính chất 3 : Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một biểu thức dương thì ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương. Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một biểu thức âm thì ta được một bất đẳng thức ngược chiều và tương đương.

A > B <=> A.C > B.C (C>0) và A.C < B.C (C<0)


+ Chứng minh :Ta có A > B <=> A - B > 0
Nếu C > 0 thì A – B > 0 <=> (A – B).C > 0 <=> AC – BC > 0 <=> AC > BC
Nếu C < 0 thì A – B > 0 <=> (A – B).C < 0 <=> AC – BC < 0 <=> AC < BC